KALIMAT BERKUANTOR - by Wulan Yuniati - Universitas Sahid Surakarta

KALIMAT BERKUANTOR

Dalam ilmu logika, kalimat-kalimat yang memerlukan subyek disebut Predikat.

Misalkan :

p : terbang ke bulan

q : lebih tebal dari kamus

, maka p maupun q adalah predikat-predikat.

Salah satu cara untuk mengubah predikat menjadi suatu kalimat adalah dengan mensubstitusi semua variabelnya dengan nilai-nilai tertentu.

Misalkan p(x) : “x habis dibagi 5” dan x disubstitusi dengan 35

, maka p(x) menjadi kalimat benar.

Cara lain adalah dengan menambahkan kuantor pada kalimat.

Kuantor adalah kata-kata seperti beberapa, semua, dll yang menunjukkan banyaknya elemen yang dibutuhkan agar predikat menjadi benar.

Ada dua macam kuantor untuk menyatakan jumlah objek yang terlibat :

1. Kuantor Universal (simbol ")
2. Kuantor Eksistensial (simbol $)

Kuantor universal menunjukkan bahwa setiap objek dalam semestanya memiliki sifat kalimat yang menyatakannya.

* ("x) p(x) bernilai benar bila dan hanya bila p(x) benar untuk semua x dalam semesta D.

* ("x) p(x) bernilai salah apabila ada x Î D yang menyebabkan p(x) salah. Harga x yang menyebabkan p(x) salah disebut Contoh Penyangkal (Counter Example).

Kuantor eksistensial menunjukkan bahwa diantara objek-objek dalam semestanya, paling sedikit ada satu objek (atau lebih, asal tidak semua) yang memenuhi sifat kalimat yang menyatakannya.

Beberapa kata yang digunakan untuk menyebut kuantor eksistensial adalah ”Terdapat ...”, ”Beberapa x bersifat ...”, ”Ada ...”, ”Paling sedikit ada satu x ...”.

($ x Î D) q(x) bernilai benar bila dan hanya bila paling sedikit ada satu x Î D yang menyebabkan q(x) benar, dan bernilai salah jika untuk semua x Î D yang menyebabkan q(x) benar, maka q(x) bernilai salah.

INGKARAN KALIMAT BERKUANTOR

Ingkaran kalimat ”semua x bersifat p(x)” adalah ”Ada x yang tidak bersifat p(x)”

Ingkaran kalimat ”Ada x yang bersifat q(x)” adalah ”Semua x tidak bersifat q(x)”

Ø((" x Î D) p(x)) º ($ x Î D) Øp(x)

Ø(($ x Î D) q(x)) º (" x Î D) Øq(x)

KALIMAT BERKUANTOR GANDA

("x)("y) p(x,y) Û ("y)("x) p(x,y)

($x)($y) p(x,y) Û ($y)($x) p(x,y)

($x)("y) p(x,y) Þ ("y)($x) p(x,y)

Ingkaran kalimat berkuantor ganda :

Ø{("x)($y) p(x,y)} º ($x)("y) Øp(x,y)

Ø{($x)("y) p(x,y)} º ("x)($y) Øp(x,y)

Dasar - dasar Logika (Matakuliah Logika Informatika)

1.            PENGERTIAN UMUM LOGIKA

Filsafat dan matematika adalah bidang pengetahuan rasional yang ada sejak dahulu. Jauh sebelum matematika berkembang seperti sekarang ini dan penerapannya menyentuh hampir seluruh bidang ilmu pengetahuan modern, ilmuwan dan filosof yunani telah mengembangkan dasar pemikiran ilmu geometri dan logika. Sebut saja THALES (640-546 SM) yaitu seorang ilmuwan geometri yang juga disebut sebagai bapak filosofi dan penalaran deduktif. Ada juga ahli matematika dan filosof PHYTAGORAS (572-497 SM) dengan dalil phytagorasnya yang terkenal yaitu a²+b²=c² .

           

MATEMATIKA DAN FILSAFAT

Persamaan filsafat dan matematika:

• Kerja Filosof adalah berpikir konsep.
• Kerja Matematikawan adalah memperjelas konsep yang dikembangkan oleh filosof.

Perbedaan filsafat dan matematika:

• Filsafat bebas menerapkan berbagai metode rasional.
• Matematikawan hanya menerapkan metode deduksi.

MATEMATIKA DAN LOGIKA

Menurut BETRAND RUSSEL matematika adalah ilmu yang menyangkut deduksi logis tentang akibat-akibat dari pangkal fikir umum semua penalaran.

Ini berkaitan dengan konsepsi matematika sebagai ilmu formal, ilmu tentang bilangan dan ruang, ilmu tentang besaran dan keluasan, ilmu tentang hubungan, pola bentuk, dan rakitan juga sebagai ilmu yang bersifat abstrak dan deduktif.

MAKNA LOGIKA

Berasal dari bahasa yunani “LOGOS” yang berarti kata, ucapan, atau alasan. Logika adalah metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran. Logika mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penalaran kesimpulan yang absah. Ilmu ini pertama kali dikembangkan sekitar 300 SM oleh ARISTOTELES dan dikenal sebagai logika tradisioanal atau logika klasik. Dua ribu tahun kemudian dikembangkan logika modern oleh GEORGE BOOLE dan DE MORGAN yang disebut dengan Logika Simbolik karena menggunakan simbol-simbol logika secara intensif.

Dasar pemikiran logika klasik adalah logika benar dan salah yang disimbolkan dengan 0 (untuk logika salah) dan 1 (untuk logika benar) yang disebut juga LOGIKA BINER. Tetapi pada kenyataanya dalam kehidupan sehari-hari banyak hal yang kita jumpai yang tidak bisa dinyatakan bahwa sesuatu itu mutlak benar atau mutlak salah. Ada daerah dimana benar dan salah tersebut nilainya tidak bisa ditentukan mutlak benar atau mutlak salah alias kabur.

Untuk mengatasi masalah yang terjadi dalam logika klasik yang dikembangkan oleh ARISTOTELES tersebut, seorang ilmuwan dari Universitas California Berkeley, PROF. LOTFI A.ZADEH pada tahun 1965 mengenalkan suatu konsep berpikir logika yang baru yaitu LOGIKA KABUR (FUZZY LOGIC).

PADA LOGIKA FUZZY

• Nilai kebenarn bukan bersifat crisp (tegas) 0 dan 1 saja tetapi berada diantaranya (multivariabel).
• Digunakan untuk merumuskan pengetahuan dan pengalaman manusia yang mengakomodasi ketidakpastian ke dalam bentuk matematis tanpa harus mengetahui model matematikanya.
• Pada aplikasinya dalam bidang komputer, logika fuzzy diimplementasikan untuk memenuhi kebutuhan manusia akan sistem komputer yang dapat merepresentasikan cara berpikir manusia.

HUBUNGAN MATEMATIKA DAN LOGIKA

Menurut RUDOLF CARNAP (1931)

• Konsep matematika dapat diturunkan dari konsep-konsep logika dengan melalui batasan-batasan yang jelas.
• Dalil-dalil matematika dapat diturunkan dari aksioma-aksioma logika dengan perantara deduksi logis secara murni.

Menurut BETRAND RUSSEL

• Logika adalah masa muda matematika dan matematika adalah masa dewasa logika.

                                           

LOGIKA DAN KOMPUTER

            Arsitektur sistem komputer tersusun atas rangkaian logika 1 (true) dan 0 (false) yang dikombinasikan dengan sejumlah gerbang logika AND. OR, NOT, XOR, dan NAND.

            Program komputer berjalan di atas struktur  penalaran yang baik dari suatu solusi terhadap suatu permasalahan dengan bantuan komponen program IF…THEN…ELSE, FOR…TO…DO, WHILE, CASE…OF.