Basis dan Aplikasinya ALJABAR LINIER -- by Wulan Yuniati

Basis dan Aplikasinya

Definisi Basis

Jika V adalah sebarang ruang vektor dan S = { v₁, v₂, ...,v_r} merupakan himpunan berhingga dari vektor-vektor pada V, maka S kita namakan basis untuk V jika

ü  S bebas linear

ü  S merentang V

Contoh.

Diketahui v₁ = (1,2,1), v₂ = (2,9,0), v₃ = (3,3,4). Apakah himpunan S = {v₁, v₂, v₃} adalah basis untuk R³.

Penyelesaian.

·       Apakah S bebas linear?

k₁v₁ +   k₂v₂ + k₃v₃ = 0

k₁ + k₂ + k₃= 0

k₁   + 2k₂ +  3k₃       = 0

2k₁ + 9k₂ +  3k₃       = 0

k₁             + 4k₃        = 0

setelah dicari nilai k₁, k₂, k₃, di dapat k₁=0, k₂=0, dan k₃=0. maka himpunan S adalah bebas linear di V.

·         Apakah S merentang V?

Penyelesaian:

k₁   + 2k₂ +  3k₃       = a

2k₁ + 9k₂ +  3k₃       = b

k₁             + 4k₃        = c

matriks yang diperbesar untuk persamaan-persamaan di atas adalah:

  =

       A          x    =  B

Syarat S membanggun V adalah jika dan hanya jika setiap vektor di V kombinasi linear dari vektor-vektor di S. Vektor V kombinasi linear dari vektor-vektor S jika SPL tersebut mempunyai penyelesaian.

 A =

det A =  =  -1

matriks A (matriks koefisien) tersebut mempunyai determinan, maka himpunan vektor di V kombinasi linear dari vektor-vektor di S.

Kesimpulan: S merupakan basis dari V.

Aplikasi Basis

Perpindahan Penduduk

       Misalkan jumlah penduduk keseluruhan dari suatu daerah metropolitan yang besar adalah relatif tetap, tetapi setiap tahun 6% dari penduduk yang bertenpat tinggal di kota pindah ke daerah pinggiran kota, dan 2% dari penduduk yang bertempat tinggal di daerah pinggiran kota pindah ke kota. Jika pada awalnya 30% dari populasi keseluruhan bertempat tinggal di kota dan 70% bertempat tinggal di daerah pinggiran kota, akan berapakah persentase-persentase ini sesudah 10 tahun? 30 tahun? Dan 50 tahun?

Penyelesaian:

Kita tetapkan

    dan x₀ = 

          Maka persentase penduduk yang bertempat tinggal di kota dan daerah pinggiran kota sesudah 1 tahun dapat ditentukan dengan menetapkan x₁= Ax_0. Persentase-persentase ini sesudah 2 tahun dapat ditentukan dengan menetapkan x₂ = A²x_0. Pada umumnya persentase-persentase ini sesudah n tahun akan diberikan oleh x_n = Aⁿx₀. Jika kita menghitung persentase-persentase ini untuk n=10, 30, dan 50 tahun dan bulatkan ke persentase yang terdekat maka kita peroleh:

x₁₀ =            x₃₀ =       x₅₀ =

sebenarnya jika n bertambah, maka barisan vektor x_n = Aⁿx₀ akan konvergen ke limit x =(0,25 , 0,75)^T. Vektor limit x disebut vektor kondisi tunak (steady state vector) untuk proses tersebut.